Критерий Келли - финансовая стратегия, которая помогает определить, какую долю текущего банка стоит поставить на событие с положительным математическим ожиданием. В отличие от фиксированного процента от банка размер ставки здесь зависит от двух величин: коэффициента букмекера и собственной оценки вероятности выигрыша.
Метод может показывать высокую результативность только в умелых руках. Формула не определяет победителя матча и не исправляет слабый прогноз. Если вероятность события оценена неверно, полный Келли способен рекомендовать слишком крупную ставку и привести к глубокой просадке.
Коротко: критерий Келли отвечает на вопрос «сколько ставить», но не отвечает на вопрос «на что ставить». Положительная доля появляется только тогда, когда собственная вероятность выше точки безубыточности коэффициента.
Содержание:
Что такое критерий Келли
Критерий Келли - метод управления капиталом, который рассчитывает оптимальную долю банка для ставки при известных коэффициенте и вероятности выигрыша.
Его цель - максимизировать ожидаемый долгосрочный логарифмический, или геометрический, рост банка при последовательном реинвестировании средств.
| Вопрос | Ответ |
|---|---|
| Что рассчитывает? | Долю текущего банка для одной ставки |
| Выбирает ли спортивный исход? | Нет |
| Создаёт ли положительное EV? | Нет, преимущество должно существовать заранее |
| Что требуется на входе? | Коэффициент, собственная вероятность и размер банка |
| Главный риск | Ошибка или излишняя уверенность в вероятности |
| Что означает нулевой результат? | Ставку следует пропустить |
| Практический вариант | Половинный или четвертной Келли |
Критерий нельзя считать усовершенствованным прогнозом. Это финансовая надстройка над уже найденной ставкой с положительным ожиданием.
История создания критерия Келли
Метод был сформулирован Джоном Ларри Келли-младшим в научной работе A New Interpretation of Information Rate, опубликованной в 1956 году. Поэтому распространённое утверждение о создании стратегии в 1960-х годах неверно.
Изначально идея была связана с теорией информации, но позже получила широкое применение в инвестициях, азартных играх и ставках на спорт.
Какую задачу решает формула
Игрок может найти ставку с положительным математическим ожиданием, но выбрать слишком крупный размер. Тогда даже хороший прогнозный метод создаст тяжёлую просадку.
Другой игрок может ставить слишком мало и почти не использовать найденное преимущество. Келли пытается найти баланс между:
- скоростью роста банка;
- риском отдельной ставки;
- текущим размером капитала;
- величиной преимущества над коэффициентом.
Чем выше оценённое преимущество, тем больше доля. После проигрыша банк уменьшается, поэтому и следующая денежная ставка становится меньше. После выигрыша банк растёт, и сумма при той же доле увеличивается.
Формула критерия Келли
Для десятичного коэффициента удобно использовать формулу:
f* = (K × p − 1) / (K − 1)
После этого денежный размер ставки рассчитывается так:
Сумма ставки = текущий банк × f*
Классическая запись выглядит следующим образом:
f* = (b × p − q) / b
Обе формы эквивалентны, потому что `b = K − 1`, а `q = 1 − p`.
Что означают K, p, b и q
| Обозначение | Значение | Пример |
|---|---|---|
| f* | Рекомендуемая доля текущего банка | 0,0625 = 6,25% |
| K | Десятичный коэффициент БК | 5,00 |
| p | Собственная вероятность выигрыша | 0,25 = 25% |
| b | Чистая прибыль на единицу ставки | 5,00 − 1 = 4 |
| q | Вероятность проигрыша | 1 − 0,25 = 0,75 |
Вероятность в формулу вводится в десятичном виде: 55% = 0,55. Использовать число 55 вместо 0,55 нельзя.
Пример расчёта ставки по Келли
Сохраним исходный пример:
- банк - 1000 долларов;
- коэффициент - 5,00;
- собственная вероятность - 25%, или 0,25.
Шаг 1. Рассчитываем долю
f* = (5,00 × 0,25 − 1) / (5,00 − 1)
f* = (1,25 − 1) / 4
f* = 0,25 / 4 = 0,0625
Полный Келли равен 6,25% банка.
Шаг 2. Переводим долю в деньги
1000 × 0,0625 = 62,50 доллара
Шаг 3. Проверяем преимущество
Точка безубыточности коэффициента 5,00:
1 / 5,00 × 100% = 20%
Игрок оценивает шанс в 25%, то есть предполагает преимущество в пять процентных пунктов.
Шаг 4. Проверяем EV
EV = p × K − 1
EV = 0,25 × 5 − 1 = +0,25
Ожидаемая ценность равна +25% от поставленной суммы - только при условии, что оценка 25% близка к реальной вероятности.
Для автоматического расчёта используйте калькулятор критерия Келли.
Что означает нулевой или отрицательный Келли
Формула не всегда рекомендует ставку.
Положительный результат
`f* > 0`: собственная вероятность выше точки безубыточности. Ставку можно рассматривать.
Нулевой результат
`f* = 0`: оценённого преимущества нет. По Келли ставка равна нулю.
Отрицательный результат
`f* < 0`: выбранная сторона переоценена относительно вашей вероятности. В обычной букмекерской практике отрицательную долю трактуют как пропуск, а не как необходимость ставить отрицательную сумму.
| Собственная вероятность | Результат полного Келли | Решение |
|---|---|---|
| 48% | −4% | Пропуск |
| 50% | 0% | Пропуск |
| 52% | 4% | Можно рассматривать |
| 55% | 10% | Высокая доля - лучше дробный Келли |
| 60% | 20% | Очень агрессивная ставка |
Примеры расчёта для разных коэффициентов
| Коэффициент | Вероятность | Точка безубыточности | Полный Келли | Ставка от банка 100 000 ₽ |
|---|---|---|---|---|
| 1,50 | 70% | 66,67% | 10% | 10 000 ₽ |
| 1,80 | 60% | 55,56% | 10% | 10 000 ₽ |
| 2,00 | 55% | 50,00% | 10% | 10 000 ₽ |
| 3,00 | 40% | 33,33% | 10% | 10 000 ₽ |
| 5,00 | 25% | 20,00% | 6,25% | 6250 ₽ |
Одинаковая доля может получиться при разных коэффициентах и вероятностях. Поэтому нельзя использовать универсальную таблицу «ставить 5% при коэффициенте 2,00» без собственной оценки шансов.
Полный, половинный и четвертной Келли
Полный Келли максимизирует расчётный геометрический рост при точных исходных данных, но создаёт высокую волатильность. На практике часто используют только часть результата.
| Вариант | Формула | Если полный Келли 10% | Особенность |
|---|---|---|---|
| Полный | 1 × f* | 10% | Максимальный расчётный рост и высокая просадка |
| Половинный | 0,5 × f* | 5% | Компромисс между ростом и риском |
| Четвертной | 0,25 × f* | 2,5% | Более осторожен при неопределённой вероятности |
| Ограниченный | min(f*, установленный предел) | Например, не более 3% | Защищает от слишком крупных рекомендаций |
В старой статье рекомендовалось «разделить коэффициент на два». Правильно делить не букмекерский коэффициент, а рассчитанную долю Келли.
Чувствительность Келли к ошибке вероятности
Главная трудность стратегии - не формула, а получение реалистичной вероятности.
Допустим, игрок оценил событие за 2,00 в 55%:
- полный Келли - 10%;
- половинный Келли - 5%.
Но истинная вероятность оказалась 52%. Тогда истинно оптимальная доля:
2 × 0,52 − 1 = 4%
Получается:
- полный Келли 10% превышает оптимальную долю в 2,5 раза;
- половинный Келли 5% значительно ближе к корректному размеру;
- слишком большая ставка способна ухудшить долгосрочный геометрический рост даже при положительном EV.
| Оценка игрока | Полный Келли по оценке | Истинная вероятность | Истинно оптимальная доля |
|---|---|---|---|
| 55% | 10% | 55% | 10% |
| 55% | 10% | 53% | 6% |
| 55% | 10% | 52% | 4% |
| 55% | 10% | 50% | 0% |
| 55% | 10% | 48% | Пропуск |
Как оценивать вероятность события
Вводить вероятность «на глаз» опасно. Для её оценки можно использовать:
- историческую статистику в сопоставимых условиях;
- рейтинг силы команд или игроков;
- модель ожидаемых голов, очков или геймов;
- состав, травмы, календарь и площадку;
- симуляцию возможных результатов;
- калибровку собственных прогнозов.
Калибровка
Если события, которым вы присваивали 60%, выигрывали только в 52% случаев, модель переоценивает уверенность. Применение полного Келли к такой модели особенно опасно.
Полезно группировать прогнозы:
- 50–55%;
- 55–60%;
- 60–65%;
- 65–70%;
- 70% и выше.
Затем сравнивать среднюю прогнозную вероятность с фактической проходимостью на большой выборке.
Маржа и честный коэффициент
Подразумеваемая вероятность коэффициента:
p = 1 / K
Но букмекерская линия содержит маржу. В рынке с несколькими исходами сумма подразумеваемых вероятностей обычно выше 100%.
Поэтому перед сравнением полезно:
- перевести все коэффициенты в вероятности;
- рассчитать сумму вероятностей;
- удалить маржу;
- получить рыночные no-vig-оценки;
- сравнить их со своей моделью.
Для этого используйте конвертер коэффициентов, калькулятор маржи, калькулятор честных коэффициентов и калькулятор EV.
Серия поражений и просадка
Основной принцип Келли состоит в том, что после неудач денежная сумма уменьшается вместе с банком. Это действительно замедляет потерю капитала, но не исключает тяжёлую просадку.
Шесть поражений при ставке 10% текущего банка
| Шаг | Банк перед ставкой | Ставка 10% | Остаток |
|---|---|---|---|
| Старт | 1000,00 ₽ | - | 1000,00 ₽ |
| 1 | 1000,00 ₽ | 100,00 ₽ | 900,00 ₽ |
| 2 | 900,00 ₽ | 90,00 ₽ | 810,00 ₽ |
| 3 | 810,00 ₽ | 81,00 ₽ | 729,00 ₽ |
| 4 | 729,00 ₽ | 72,90 ₽ | 656,10 ₽ |
| 5 | 656,10 ₽ | 65,61 ₽ | 590,49 ₽ |
| 6 | 590,49 ₽ | 59,05 ₽ | 531,44 ₽ |
Сохраняется 53,14% первоначального банка, а не 48%, как было указано в старой версии статьи.
Десять поражений при доле 20%
Остаток = 0,810 = 10,74% банка.
Математически счёт не стал равен нулю, но просадка 89,26% фактически уничтожает большую часть капитала. Поэтому утверждать, что Келли «не может привести к проигрышу банка», некорректно.
Рост после выигрыша
В исходном примере ставка 6,25% за коэффициент 5,00 приносит чистую прибыль:
6,25% × (5 − 1) = 25% банка
Банк 1000 долларов после победы вырастет до 1250 долларов. Универсального ограничения роста в 5% не существует.
Критерий Келли для нескольких ставок
В старой статье предлагалось рассчитать для двух событий 4% и 2%, а затем распределить заданные 100 долларов в пропорции 67/33. Такой расчёт сохраняет отношение `4:2`, но не является полноценным портфельным Келли.
Независимые ставки
Отдельные доли можно использовать как приближение, но необходимо ограничить суммарную экспозицию. Например, рекомендации 8%, 7% и 6% дают общий риск 21% банка.
Коррелирующие ставки
Ставки могут зависеть друг от друга:
- П1 и индивидуальный тотал этой же команды;
- победа фаворита и его фора;
- ТБ матча и «обе забьют»;
- несколько событий одной серии или турнира.
Считать их независимыми нельзя. Полноценный портфельный Келли должен учитывать совместные вероятности и корреляцию.
Взаимоисключающие исходы
Для П1–Х–П2 или других взаимоисключающих вариантов нельзя просто применить три независимых формулы и поставить все положительные доли. Нужен совместный расчёт распределения капитала.
Критерий Келли, флэт и догон
| Подход | Как определяется ставка | Основной риск |
|---|---|---|
| Флэт | Одинаковая сумма или процент | Не учитывает величину преимущества |
| Полный Келли | Коэффициент и собственная вероятность | Сильная чувствительность к ошибке |
| Дробный Келли | Часть рассчитанной доли | Более медленный рост при точной модели |
| Догон | Увеличение после проигрыша | Геометрический рост ставки и потеря банка |
| Система Миллера | Изменение ставки по плато банка | Не учитывает EV каждого события |
Келли принципиально отличается от догона: после проигрыша денежная ставка уменьшается, а не растёт. Более консервативный плато-менеджмент рассмотрен в статье о системе Миллера.
Когда критерий Келли лучше не использовать
- нет собственной вероятностной модели;
- вероятность взята непосредственно из коэффициента БК;
- выборка прогнозов слишком мала для проверки калибровки;
- ставки сильно коррелируют;
- коэффициент быстро меняется;
- формула рекомендует слишком большую долю;
- банк слишком мал относительно минимальной ставки;
- используются заёмные деньги;
- игрок не способен соблюдать рассчитанный размер.
Для новичка безопаснее начать с небольшого флэта и вести статистику вероятностей. Келли имеет смысл после подтверждения, что модель действительно находит value.
Плюсы и минусы стратегии
| Плюсы | Минусы |
|---|---|
| Связывает размер ставки с преимуществом | Требует собственной вероятности |
| Автоматически уменьшает денежную ставку после убытков | Полный Келли создаёт высокую волатильность |
| Не требует догона и отыгрыша | Переоценка вероятности ведёт к завышенной ставке |
| Даёт понятное правило пропуска при f ≤ 0 | Сложнее применять к связанным событиям |
| Подходит для дробного и ограниченного варианта | Не гарантирует сохранение большей части банка |
| Оптимизирует долгосрочный геометрический рост при точной модели | Не создаёт преимущество самостоятельно |
Видео показывает базовый принцип. При практическом использовании дополнительно учитывайте дробный Келли, маржу, ошибку вероятности и возможную просадку.
Частые ошибки при использовании Келли
- Считать Келли способом прогнозирования. Формула определяет сумму, а не победителя.
- Брать вероятность из коэффициента. Тогда положительного преимущества не возникает.
- Игнорировать маржу. Подразумеваемая вероятность БК не равна честной.
- Вводить 55 вместо 0,55. Проценты нужно переводить в десятичную дробь.
- Ставить при отрицательном результате. Отрицательный Келли означает пропуск выбранной стороны.
- Всегда использовать полный Келли. Ошибка вероятности делает его чрезмерно агрессивным.
- Делить букмекерский коэффициент пополам. Уменьшать нужно рассчитанную долю.
- Считать банк защищённым от глубоких потерь. Остаток может стать практически незначительным.
- Суммировать независимые рекомендации без лимита. Общая экспозиция может оказаться слишком большой.
- Не учитывать корреляцию. Связанные ставки увеличивают общий риск.
- Использовать маленькую выборку. Несколько удачных прогнозов не подтверждают точность модели.
- Округлять ставку вверх без ограничения. На маленьком банке это повышает фактическую долю.
Частые вопросы о критерии Келли
Что такое критерий Келли простыми словами?
Это формула, которая определяет долю текущего банка для ставки на основании коэффициента и собственной вероятности выигрыша.
Как выглядит формула Келли?
Для десятичного коэффициента: `(K × p − 1) / (K − 1)`.
Что означает отрицательный Келли?
Ваша вероятность ниже точки безубыточности. Выбранную ставку следует пропустить.
Что означает результат 0%?
Математического преимущества нет. Размер ставки по Келли равен нулю.
Что такое половинный Келли?
Это половина рассчитанной доли. Например, вместо полного Келли 10% ставится 5% банка.
Что лучше - полный или половинный Келли?
Полный вариант быстрее растёт при идеальной модели, но создаёт большую просадку. В реальных ставках половинный или четвертной вариант обычно устойчивее к ошибке.
Можно ли потерять банк по Келли?
При дробной ставке банк не становится строго равным нулю за конечное число обычных поражений, но может уменьшиться на 80–99% и фактически потерять практическую ценность.
Как определить вероятность?
Нужна собственная статистическая модель и проверка её калибровки на большой выборке. Уверенность «на глаз» недостаточна.
Учитывает ли Келли маржу?
Нет. Маржу и честные вероятности необходимо оценить отдельно до расчёта.
Можно ли использовать Келли для экспресса?
Можно подставить коэффициент и собственную вероятность всего экспресса, но её сложно оценить из-за перемножения и возможной корреляции исходов.
Можно ли рассчитать несколько ставок одновременно?
Для независимых событий отдельные доли дают приближение. Для коррелирующих или взаимоисключающих исходов требуется портфельная модель.
Какой максимальный процент банка ставить?
Универсального предела нет, но на практике часто используют дробный Келли и дополнительный лимит, например не более 1–3% на одну ставку.
Подходит ли стратегия новичкам?
Формула проста, но корректная оценка вероятности сложна. Новичку лучше начать с небольшого флэта и статистики прогнозов.
Полезные инструменты и материалы
- Калькулятор критерия Келли - полный и дробный размер ставки.
- Конвертер коэффициентов и вероятностей.
- Калькулятор букмекерской маржи.
- Калькулятор честных коэффициентов.
- Калькулятор ожидаемой ценности EV.
- Стратегия «Догон»: формула и риски.
- Система управления банком Миллера.
- Все стратегии ставок Lifebet.ru.